高云峰
(清华大学航天航空学院，北京 100084)
科学研究离不开系统与模型。系统是根据研究目的而人为界定，由一些有关联的物体或成份组成的有序整体。简单地说，系统就是我们关注或研究的对象，包含边界、成份和相互作用。模型是经过处理的简化系统，能体现原系统的本质特征，是描述和理解系统的有效工具。真实世界很复杂，但可以用简化的模型来描述。模型超越了我们可观察的范围，将不可见的、抽象的现象或特征形象化，有利于理解和研究。
模型可以直观反映系统的特征，特别是系统的内在特征，因此有时模型比实物更能展示出系统的特点，利用模型也更容易进行沟通和交流。模型与系统之间存在着某种相似性，除了可以解释一部分系统的现象，还可以通过模型预测系统更多的现象，甚至是还没有被发现的现象，从而在验证模型可靠性的同时，增加对系统的认识。例如，利用太阳系模型预测海王星的位置是模型预测的典型案例。
建立简化的模型来研究复杂的系统是一种科学研究的方法。模型包括物理模型（通常是实物或示意图）、数学模型（通常是数学公式）和概念模型（通常是相关理论）。
在目前的力学教学中，平时的习题或作业可以认为是已经简化好的模型，学生缺乏如何从真实系统简化为模型的训练（在本系列文章（2）中，从“工程问题”到“物理模型”，实际也是建模的过程）。
在教学过程中，笔者会把少量传统的习题进行改造，从实际问题或现象出发，给学生展示如何简化建模，如何分析得到结果并最终解释所关心的问题。这样的内容不用多，给学生开一个窗口，让学生了解一种重要的科学研究的方法和思路，而不仅仅是会做作业。
吉他、小提琴能演奏出优美的旋律，本质是琴弦振动的频率和幅度通过空气传到耳中（我们听到的旋律与振动频率相关，声音的强弱与振动幅度相关）。
以吉他为例，吉他由共鸣箱、琴颈、琴头及琴弦等部件组成，每根琴弦粗细不同，固定在琴桥与琴头之间，琴颈上有19根长品柱，第i个品柱与琴桥的距离为li(i=0,1,...,18) ，可以注意到这些距离从密到稀排列着（图1）。
图1 吉他照片
可以对琴弦振动进行建模，通过分析来解释与吉他相关的一些问题，包括上述现象。
首先将某根琴弦简化为无质量的弹簧，将琴弦质量简化为质点集中在弹簧中点，静止时琴弦已绷紧，设张力为T0。当质点有位移x时，单侧琴弦长度为d，张力为T（图2）。
图2 琴弦振动的简化模型
下面寻找系统参数之间的关系。单侧琴弦长度为
通常弹拨吉他时，琴弦的位移很小，因此设x是一阶小量。式（1）级数展开后保留一阶量，有
即琴弦振动时在忽略高阶小量的前提下长度不变。由于张力与琴弦伸长量有关，因此在振动过程中有
忽略重力（张力远大于琴弦重量），列写质点振动的动力学方程，有
由于位移x是小量，角度θ也是小量，有
将式（3）和式（5）代入式（4），有
设琴弦截面积为S，单位长度质量为ρ，则振动的固有频率为
下面利用式（7）来解释一些现象。
（1）琴头上有调紧琴弦的旋钮，有经验的吉他手演奏前要调整一下旋钮，通过改变琴弦的张力调整频率（图3）。式（7）表明频率ω与成正比，合理。
图3 琴头中的琴弦及旋钮
（2）琴弦有粗细之分（图3），粗弦用于演奏低音（低频），细弦用于演奏高音（高频）。式（7）表明频率与成反比，合理。相反如果6根琴弦一样粗细，高音对应的琴弦张力就明显增加，容易导致高音琴弦疲劳损坏。
（3）手按住琴弦某处，相当于琴头处的固定端移到手指处的品柱，改变了琴弦的长度，从而改变了振动频率。我们知道世界上把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两音的振动频率之比完全相等，亦称“十二等程律”。式（7）表明频率与l成反比，因此图1中距离的比值也应该满足“十二等程律”，即前后距离之比为实际品柱与琴桥的距离见表1，相邻的距离比值见图4，合理。
表1 吉他各品柱的距离（根据实际照片测量）
图4 相邻品柱距离的比值
对音乐熟悉的读者可能会注意到，国际标准音的频率（表2）与表1中的部分品柱距离（黑体）竟然十分接近，我自己也感到有些不可思议（该吉他34寸（1寸 = 3.333 33 cm），全长866 mm，如果是其他品牌，品柱距离会变化，但比值不变）。
表2 C大调国际标准音频率
（4）实际吉他弹起来音色很丰富，而模型只有一个频率。原因是模型把质量集中为一个质点，这与实际不同。如果采用连续质量的模型，就更为接近实际的了。
大家可能注意到下雨时毛毛细雨与暴雨有一个明显区别：毛毛细雨是“飘”下来的（速度很小），而暴雨是“砸”下来的（速度很大）。如何用相关的力学知识，建立模型简要地解释这一现象呢？
建立坐标系，确定广义坐标y，分析运动和受力，画出受力图（图5）。
图5 雨滴受力分析
根据一般的经验，物体在空气中阻力为
其中CD为阻力系数（常数），S为物体横截面积，ρa为空气密度。
如果假设雨滴是球形，半径为r，水的密度为ρw，则有
根据图5，速度逐渐增加导致阻力增加，当满足阻力等于重力后，雨滴就一直以匀速运动（严格说是趋近于匀速运动）。由式（8）和式（9）获得雨滴的极限速度为
式（10）表明雨滴的速度与其半径有关，这就解释了暴雨速度大，毛毛雨速度小的现象。当然上述模型假设雨滴半径不变化，这不太合理，如果要更精细，可以修正模型。
考虑雨滴在下降过程中不断吸收周围的水汽，设周围大气相对地面静止，采用变质量模型[1]，有
雨滴在单位时间内经过的空间是一个圆柱体，该圆柱内的水汽有部分被雨滴吸收（图6），设吸收率ζ为常数（ζ = 1表示全部吸收，ζ = 0表示不吸收；
吸收率ζ通常会很小，否则几滴雨就把运动路径上的水汽全吸收了），则
图6 考虑雨滴的变质量问题
将式（12）取极限后与式（11）联立，有
将式（9）改写，有
设y1=y，y2=y˙，y3=r，由式（13）和式（14）得到标准的一阶微分方程组，为
方程（15）耦合在一起，给出参数及初始条件 (ρw=1000kg/m3，ρa=1kg/m3，r(0)=0.02mm ，H=2000m ，CD=1 ， 估 计 暴 雨 时ζ=0.005 ，中 雨 时ζ=0.001 ， 小 雨时ζ=0.0006 )， 可 以 算出相关的数值解。
与前面雨滴质量和半径为常数的模型相比，变质量模型中雨滴不存在极限速度，而是随着高度减低，速度不断增加（图7）。雨滴变质量模型的计算结果与网上查到的数据很接近[2]：一般而言，毛毛雨的雨滴直径为0.5 mm, 而暴雨雨滴最大直径约为5.5 mm；
毛毛雨的收尾速度为2 m/s，而暴雨最大收尾速度为8～9 m/s（图8）。且同一高度落下的雨滴沿相同的“速度-直径”曲线变化，这一点还有待深入研究。
图7 雨滴高度与速度的关系
图8 雨滴直径与速度的关系
系统与模型是跨学科概念，可以应用在很多学科，力学模型主要研究系统的受力与运动的关系，可以迁移到其他领域：任何系统都可以建立类似“力与运动”的关系，只不过这里的“力”和“运动”更为广泛。例如在生物领域，“力”可以是生存压力，“运动”可以是种群数量的变化。
实际上，通过食物链关系，不同生物之间存在着某种制约关系（相当于分析力学中的约束），导致种群数目保持动态平衡。为了更好地理解这种制约及平衡关系，设想在一个理想的封闭草原环境中，存在野兔与野狼两种生物。很明显，野兔多则野狼食物充分，导致野狼数量增加；
而野狼数量太多，会通过捕食使野兔数量减少，反过来又导致部分野狼不容易找到食物而饿死，繁殖的数量也会下降。因此在这种生存竞争中，两种生物要么最终灭亡，要么经过一段时间后两者数量达到稳定的状态。
这一现象可以用Lotka-Volterra模型来描述，也称作猎食者-猎物（predator-prey）模型[3]。改写后，设野兔数量为R（rabbit），野狼的数量为W（wolf）。上述竞争关系可以表示为
式中λ1是野兔的自然增长率（假定草场资源充沛），λ1R表示在单位时间出生的野兔；
λ2表示单位时间内野兔被野狼捕获的比例，λ2RW表示在单位时间被吃掉的野兔；
λ3是野狼的自然死亡率，λ3W表示在单位时间死亡的野狼；
λ4表示转换系数，表示平均吃λ4只野兔才生出1只小野狼。
给出适当参数和初始条件后，计算模拟发现野兔和野狼的数量的确呈现周期性的变化。其典型的情况是：从时间变化角度看，两者的数量振荡起伏（图9(a)）。如果用水平轴和竖直轴分别表示它们的数量，会出现一个封闭的曲线（图9(b)）；
当然，如果参数不合适，会出现野狼把野兔全部吃完，（在封闭的环节下）野狼也会全部饿死的特殊“平衡”解。
图9 野兔和野狼数量变化的关系
由此看出，在不同物种生存竞争这一问题中，不同物种的数目随时间在变化着，但是由于存在食物链关系，每个物种对另外的物种生存都会产生影响，从而导致最终达到一种“稳定”的状态，或动态的平衡。实际生物界有着复杂的食物链关系，模型更为复杂，但是大致仍有简单模型的特征：不同物种相互制约，长期趋于动态的平衡关系。
系统和模型是重要跨学科概念，可以应用于不同的学科领域。一般科研都要对系统进行简化，获得模型后，再进行深入研究。很多学生总感到理论与实际有巨大的鸿沟，最主要原因是缺乏建模的训练。有建模经验的学生可以将复杂问题（实际）简化后得到相对容易的模型（理论），然后就可以用不同的手段进行处理。
从以上案例中可以得出几点结论或启示。
（1）对琴弦的建模及分析并不复杂，得到的结果却可以解释很多相关现象，并且意外地发现某种吉他（34寸）的品柱距离与国际标准音的频率数值十分接近。因此简单的建模就可以解决很多问题，同时注意到模型是简化的系统，该模型解释不了实际琴弦音色丰富的问题。
（2）雨滴问题可以简单也可以复杂，均可以解释雨滴速度与尺寸的关系，这表明模型的复杂程度可以根据情况而定。注意到分析过程中有大量假设，如形状是球形、阻力与速度平方成比例、吸收率是常数等，这些可能与实际存在差距，也是模型的重要特点：模型是简化的系统，在简化时尽量有依据。对于变质量雨滴，计算中的参数参考了网上的数据，如云层高度、初始雨滴大小等，最终得到的雨滴速度和直径与网上资料十分接近。
（3）生物竞争的案例扩展了学生的视野，让学生了解建模的思想可以用于各个领域。同时有利于学生了解更广泛的约束概念，以及“力与运动”的关系。
如何根据系统的特点简化建模，是大学生应该掌握的重要能力。目前教学中给学生的往往是简化好的模型，学生缺少建模的训练。对学生来说，很多知识在考试后不久就可能忘了，而处理问题的方法和思维模式则可以一辈子不忘记。因此在教学中少量介绍一些建模的方法，让学生自行对一些有趣的现象进行简化分析，将使学生受益终身。
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