尤维明
[摘 要] 《义务教育数学课程标准（2011年版）》中，将推理能力作为数学核心素养的六要素之一，由此确定了推理能力的重要地位. 文章以一道关于圆的综合题的教学为例，从解题障碍成因分析出发，具体从以下几方面展开讨论：初步审题，找出有价值的信息;紧扣目标，确定解题的突破口;验证猜想，促进推理能力发展;画图分析，凸显图形依赖关系;及时反思，积累解题经验.
[关键词] 推理能力;例题教学;圆;解题经验
史宁中教授提出：抽象、推理、模型是数学发展所依赖的主要思想，其中，推理能力的培养不能脱离具体的教学活动的支撑[1]. 良好的数学推理能力形成于知识的学习过程，数学思想方法的渗透过程以及数学问题的解决过程中，学生在教师的引导下逐步积累、领悟、内省而形成各种能力. 至于教师“教什么”“怎么教”对学生的个人发展有着直接影响.
例题教学是数学教学的重要组成部分，然而在现实教学中却有部分教师存在“重解题，轻过程”的行为，淡化了对学生数学推理能力的培养意识. 其实，通过对问题的观察、思考、拓展不仅能帮助学生领悟解题的要领，更重要的是能培养学生的数学推理能力.
原题呈现
如图1所示，AB为☉O的直径，点C为圆弧AB的中点，BD为☉O的切线，交AC的延长线于点D，点E为OB的中点，CE的延长线与切线BD相交于点F，AF与☉O相交于点H，连结HB.
（1）求证：AC=CD;
（2）如果OB=2，求HB的长.
学生在自主解题过程中，主要存在以下几个问题：①只能根据已知条件提炼出部分简单结论;②思维卡壳，不会求BF的长;③因为不会求BF的长，就凭借直觉猜想∠FAB=30°，并应用该猜想进行推理，形成错误结论;④虽然正确解题，但在添加辅助线（连结OC）上花费了过多时间.
本班学生的认知属于中等偏上的水平，学生在解决本题过程中所暴露出来的问题具有典型性. 结合学生的认识水平与解题状况的分析，可以看出不同层次水平的学生在推理能力上有着显著差异，这也给笔者带来了一个启示，即面对有一定难度的关于圆的综合问题，学生的解题思维需要经历一个复杂且曲折的过程，而非一气呵成那么简单.
本题解题障碍的成因分析
1. 题目本身综合性高
一般情况下，关于圆的综合类问题的设计，常以圆为整个问题的背景，综合考查学生对几何知识的掌握程度，对学生的几何直观能力、推理能力以及运算能力的要求较高，同时还要考查学生解题过程中对数学思想方法的领悟与应用，并对几何模型的建构提出了要求.
观察本题，发现题目不仅涉及与圆相关的各种概念，如直径、弦、弧与切线等，还应用到各种原理，如圆周角定理、切线性质、全等三角形的判定定理、等腰三角形的判定定理与性质以及勾股定理等. 学生只要对其中一个定理理解得不够透彻，就会影响整道题的解决效果. 由此可见，本题的综合程度高、考查范围广.
2. 学生解题思维受限
解题过程中，运算会遵循通用的运算法则，程序化的运算特征使得学生遇到运算类问题时有章可循. 然而，综合性高的几何问题，学生很难从大脑中提取到程序化的通用解题模板，这就需要學生在题目条件与结论之间建构桥梁，不断调整解题思路，找出其中的联系[2].
调整解题思路的过程，并非顺流直下或逆流而上的过程，而是不断观察、分析、推理的过程，这就需要学生在分析法与综合法之间不断地灵活切换. 解决本题时，学生的真实思维经历了一个艰辛的探索历程，若思维缺乏一定的高度与宽度，则很难披荆斩棘，觅到突破口.
3. 教师忽视思维教学
课堂中，有些教师会以标准解题过程来掩盖探索结论的曲折过程. 教师所提供的标准解题过程，往往是基于教师本身认知水平上所呈现的思考与推理. 对于学生而言，因为认知水平的差异，导致思考问题的方式与起点不一样，最终对教师所呈现的标准解题过程只能说出“其然”，却无法理解“其所以然”.
面对教师直接呈现的标准解题过程，不少学生会提出这样的疑惑：“我为什么看不出这个结论？”“老师当时有没有遇到和我一样的障碍，当时他是怎么突破的？”“我的思路与老师不一样，是不是也有可行性？”这些都是需要教师思考面对的问题，只有基于“以生为本”的基础上进行的引导，才具有实际意义.
积极探索，培养推理能力
基于以上对于解题障碍成因的分析，笔者经过精心思考，设计了以下教学活动，与同行共勉！
1. 初步审题，找出有价值的信息
问题设计：根据本题所提供的条件信息，大家能获得哪些结论？解题需要应用到哪些条件？怎样才能充分发挥每个条件的最大作用？
设计意图 让学生带着问题去重新读题、审题，对题目所提供的条件进行全面分析，结合问题要求，提炼出可能需要用到的数学原理，为建构良好的解题思路铺路搭桥，而教师在此环节最重要的任务是关注学生审题后的实际反馈情况.
为了帮助学生理清如何提取有用信息的思路，可作如下引导：
问题1 观察图1，根据AB为☉O的直径这个条件，是否可从圆周角定理着手，推导出半圆所对的圆周角为直角的结论？
问题2 根据“BD为☉O的切线，交AC的延长于点D”这个条件，是否可结合圆的切线性质定理，联想到圆的切线与过切点的半径为互相垂直的关系？
问题3 结合“点C为圆弧AB的中点”，是否能联想到等弧所对的弦也是相等的？
问题4 根据“CE的延长线与切线BD相交于点F”这个条件，是否能联想到全等三角形相关知识？
问题5 根据“AF与☉O相交于点H，连结HB”这个条件，可否联想到直径或半圆所对的圆周角是直角？
问题6 根据“点E为BO的中点”这个条件，是否能找出特殊图形关系？
若学生在思考以上几个问题过程中，表现出对某个原理比较陌生的状态，就需要教师放慢教学节奏，与学生一起回顾相关原理，让学生从本源上理解这些结论的来龙去脉，为解题奠定基础. 同时，教师还要鼓励学生勇敢地表达出自己的所思所想，学生在尝试用数学语言表达的过程中，会不断地提取信息、整理思路、明晰知识结构.
当然，解决以上问题的过程，未必能全面地提取到每个条件所对应的所有价值，特别是根据“点E为BO的中点”这个条件找出相应的解题价值，确实存在一定难度. 因此，教师应从学生的角度去分析问题，从学生思维的卡壳点出发，引导学生通过观察、猜想、尝试、探索与证明等过程，寻找新的突破，学生因亲历整个结论的形成与发展过程，推理能力自然而然地能得到有效提升.
2. 紧扣目标，确定解题的突破口
问题设计：想要求出HB的长度，需要先求出哪些线段的长度？通过刚才的分析，有没有什么条件没有发挥其价值？
设计意图 引导学生根据自己原有的认知结构来探索未知，此问为学生的思维提供了明确的方向，让学生关注到关键图形间的联系.
学生对Rt△ABF中，双垂直的背景并不模式，也明白“知二求三”原理. 问题是题目只提供了AB的长，其他数据并不知晓，因此，如何求出BF的值是解开本题的关键.
有了明确的目标，学生再次回过头来思考“点E为BO的中点”这个条件的实际价值，将此条件与BF建立联系，可分离出一个重要的基本图形（见图2），这为后继辅助线的添加奠定了基础.
3. 验证猜想，促进推理能力发展
问题设计1：对于∠BAF=30°这个猜想是否可以验证？怎么验证？
设计意图 猜想出来的结论并不一定是正确的，验证是确定其是否合理的唯一方法. 此问的设计，目的是为了让学生对自己的猜想进行验证，以确定其是否合理.
学生面对此问，提出了以下两种验证方案：
方案1 直接用量角器测量，发现结论并不正确;
方案2 如图3，作图验证，具体方法为：分别以点A、F为圆心，BF的长度为半径作圆，所获得的两圆并非相切的关系，这与“在直角三角形中，30°角所对的直角边为斜边一半”的定理并不匹配，由此可确定这个猜想是错误的.
问题设计2：有没有办法找出和BF相等的线段？并证明.
设计意图 这为学生提供了观察猜想的目标，鼓励学生通过证明来对猜想进行论证，此时学生会将目光投入到图形中的等线段、对顶角等特殊条件中，为全等三角形的证明提供依据. 学生因经历了“方案制定→否定→新方案”的过程，逐渐深化了对问题的理解.
4. 画图分析，凸显图形依赖关系
问题设计：根据题目所提供的条件顺序，尝试画示意图，思考图中所呈现的线段长度是否确定，为什么？
设计意图 画图能让学生感知图形的确定性，从而思考图形关系对其确定性具有怎样的影响.
第一步：如图4，结合已知条件，设AB=2r，那么AC=BC=r;
第二步：如图5，根据条件“BD为☉O的切线，交AC的延长线于点D”，可知BD=2r;
第三步：如图6，根据点E为OB的中点这个条件求CE的长，可过点C作AB的垂线，连结OC后可以证得它与AB为垂直的关系，由此可得CE=r;
第四步：如图7，结合“CE的延长线与切线BD相交于点F”的条件，因为EB=OE=，tan∠BEF=tan∠CEO=2，所以BF=r，也可以根據△BEF?△OEC获得BF=CO=r.
第五步：如图8，根据“AF与☉O相交于点H，连结HB”的条件再结合以上结论，在Rt△ABF中，可用r表示AF、AH、BH、FH.
学生通过画图，对图形确定性进行定量分析，在作图活动过程中融入推理过程，其实就是逐步解三角形的过程. 尤其是第四步，对CE长进行确定与分析时，辅助线OC就自然生成，此时，全等的几何模型就自然形成了.
以上分析仅局限于对图象的确定性，不需要求出所有未知几何元素，我们只要根据解题需要求出相应的未知量即可. 比如在以上分析中，△COE是确定的，由此可得CE的长度，用三角函数来可得出BF的长度. 在△EBF中，结合∠BEF与BE的确定性，可以求出BF的长度. 这是典型的程序化思维模式，其实从全等的角度出发，可直接获得BF的值，这样就可以省掉一些计算.
5. 及时反思，积累解题经验
问题设计1：能否通过画图，获得解决这一类问题的一般程序？
设计意图 让学生通过画图，感知图形间的联系，对图形确定性形成深刻理解，感知数学转化思想方法在解题中的重要性，如通过对集中条件的思考，将问题转化成解三角形的问题.
几何问题本身就具有一定的开放性特征，若学生的思维随着条件无限发散出去，而不及时聚合，那么探索过程则缺乏明确的目的性，而影响解题效果[3]. 虽然对关于圆的综合题的分析，不像数与式那样具有显著的程序化特征，但也有一定的规律可循.
问题设计2：解题中，你们是如何突破思维的障碍点的？由此获得了什么启示？
设计意图 再还原思维的障碍点，可以让学生反思整个解题过程，从中发现自身思维的优缺点，积累良好的数学解题经验.
每个学生受各种综合因素的影响，知识储备有着较大差异，那么在思维障碍的成因上也各不相同，个性化的反思能让学生充分认识自身的不足. 从而进行有针对性的训练与调整，为掌握良好的解题技巧奠定基础.
总之，从本例题教学中，可以看出学生真实的认知水平与思维过程，这种教学模式使得整个课堂充满了“原生态”的味道，学生因亲历了整个探索与推理的过程，不仅有效地发展了自身的数学思维与推理能力，还促进了数学核心素养的形成与发展.
参考文献：
[1] 史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J].数学教育学报，2016，25（04）：1-16，46.
[2] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[3] 拉尔夫·泰勒. 课程与教学的基本原理[M]. 施良方，译. 北京：人民教育出版社，1994.
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