张定强 郭久星
摘 要 “图形与几何”是初中数学学习的领域之一，三版义务教育数学课程标准都将其列为核心内容。本文基于三版课标中初中阶段“图形与几何”的实例进行对比分析，一是从量化的视角分析实例的特征、变与不变、匹配度，二是从质性的视角阐述实例的诠释性、示范性以及拓展性，三是基于实例变革的视角提出实例育人的价值。
关键词 义务教育数学课程标准；
图形与几何；
实例；
量化；
质性
中图分类号 G623.5
文献标识码 A
文章编号 2095-5995（2022）10-0009-04
一、引言
2022年4月，教育部审核颁布了《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022版课标”）［1］。与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）［2］和2001年颁布的《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称“2001版课标”）［3］相比，2022版课标在初中阶段“图形与几何”领域的实例上发生了重要变化。实例是指在具体学习内容之后附加的供教师参考的教学范例，具有鲜明的示范性与引领性。实例中的“例”可以从动词与名词两个角度进行解释，如果作为名词使用，“例”则为“可以作依据的事物”；
如果作为动词使用，“例”的本意是“比照、引导”［4］。那么数学教师如何准确理解并运用课标中的实例，达成以例带类、以例启思、以例促学的目的，最大限度地发挥实例的潜在价值就是十分重要的研究课题。本文从量化与质性两个方面比较分析三版课标中初中“图形与几何”中的实例，以期为数学教育工作者更好地教学与研究实例提供参考。
二、变革：量化与质性分析的视角
（一）量化分析
1.实例的分布特征
2011版课标与2022版课标在初中阶段“图形与几何”领域各主题的设置上保持一致，即都分为“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题，将2001版课标的四个主题进行了整合。不同的是实例分布在不同版本的课标中发生了较大的变化（见表1）。
在2001版课标中，初中阶段“图形与几何”领域共设计了7个实例，其数量相对于另两版课标较少。分析由表1可知，2001版课标在“图形与坐标”主题中共包含4个具体学习目标，在每个具体学习目标之后都附加了实例，此版课标更重视学生“图形与坐标”内容的学习。对比发现，2001版课标较为关注实例对具体学习目标的解释与示范，但在数学思想与方法的突出上不够明显。
在2011版课标中，初中阶段“图形与几何”领域共设计了9个实例，相较于2001版课标有所增加，三个主题均有设置，但重点安排在“图形的性质”中，占比约67%，旨在培养空间观念的同时，强调提升学生的几何直观性与思维层次性。如例62、例63的设计，意在使学生经历从发现结论到验证结论的过程，有利于初学者把握证明的条理性和说理的逻辑性［7］。
在2022版课标中，初中阶段“图形与几何”领域共设计了10个实例，可见实例在课标中的地位日益增强。由表1可知，2022版课标实例数量虽增加，但70%置于“图形的性质”主题中，这一点与2011版课标相同，2022版课标中更加注重学生空间观念与推理能力的培养，最具特色的是“图形的变化”主题中加入勾股定理的证明，该实例结合现代信息技术，意在通过动态演示让学生感悟图形平移、旋转、轴对称变化的基本特征［8］。
2.实例的变与不变
相较于前两版课标，2022版课标经过修订后将“图形与几何”领域的实例保留了重要主题维度实例的同时，也进行了相应的增、删（见表2）。
在“图形的性质”中，2022版课标总共设置了7个实例，其中有两个实例与2011版课标相同，一是仍然强调反证法是一种重要的数学证明方式，二是继续重视数学推理和数学思维，通过实例让学生感悟推理过程的逻辑性是极其重要的，不过2022版课标的实例63直接以“推理过程的逻辑”来命名，并增加了此实例的难度。该主题下最大的变化是删除了2011版课标中的4个实例，突出了几何学中“识图、作图、证明”的核心思想。
在“圖形的变化”中，2022版课标总共设置了3个实例，仍然分布在“图形中心旋转的变与不变”的内容中，与2011版课标例64类似，但二者意境不同，2022版课标的实例更具参考价值。另外，2022版课标在此部分增加相似和勾股定理2个实例，凸显出相似在学习与生活中的重要地位，而勾股定理承载着重要的文化使命，首次作为实例出现更能显现它的独特价值。表2中最为明显的变化是2022版课标删除了2001版课标中的4个实例与2011版课标中的2个实例，使实例更加聚焦于直观想象与逻辑推理素养。
3.实例与内容的匹配度
课标中实例与内容的匹配度直接影响实例的使用，故有必要对三版课标初中阶段“图形与几何”领域中实例与内容的匹配度进行分析。依三版课标可知，实例与内容的匹配度较高，具体来看，前两版课标实例与课程内容虽匹配，但实例的可拓展性较低、难度不大；
而2022版课标在此基础上丰富了实例的内容，明晰重点，明确目标，更有利于数学教师的教学与研究（见表3）。
（二）实例的质性分析
1.实例的诠释性
“诠释”是指对一种事物的说明与解释。实例的诠释性一方面体现在学习内容的说明上，例如课程内容指出“理解垂直平分线的概念，会用尺规作图”，实例中则详细描述了怎样运用尺规作图，并运用数形结合，清晰地诠释了此知识内容；
另一方面体现在数学基本原理和方法的说明上，例如课程内容强调“反证法、举反例、数学思维要合乎逻辑”等，实例则通过具体的数学情境，如“梅森素数的证明、几何的例子、三角形全等的证明”来呈现其中的数学思想与方法［12］。
2.实例的示范性
示范性是指具备某些可作他人参考的特征，实例的示范性是指它所具有的可供教师效仿的教育理念与教学方法。在教育理念上，实例有助于数学课程反映数学的本质和发展动态，适应现代社会和科学技术的发展。如实例设计“用图形相似的原理测量建筑物高度”，旨在让学生领悟数学知识在现实情境中的应用。在教学方法上，实例强调以学生为中心，重视发展学生的几何直观与推理能力，并与现代信息技术相融合，通过直观的操作让学生感受数学的统一、力量和美。
3.实例的拓展性
实例的拓展性是指它可以从其他角度促进教师和学生的发展。于教师而言，实例可以拓宽教学视角，引领教学创新。例如教师可以比较分析多版本教材中设计的教学实例与课标中的实例，进而优化教学。于学生而言，实例既可以帮助学生理解知识，又起到培养学生应用意识、创新意识、推理能力与抽象能力的作用。
三、启示：学习与应用相结合的育人视角
课标中实例的更新与变革，肯定了实例在数学教育教学中的地位。因此教师应该在阅读、思考、分析的基础上明晰课标中实例的编排思路，整体把握课标中实例的育人导向，挖掘实例中蕴藏的数学素养与思维品质，从而深入透视课标实例的结构功能。特别要准确理解2022版课标中对实例的“说明”，其既有必要的问题解决提示，又有实例的教育教学价值分析，还有必要的追问、点拨、拓展等，突显出实例的育人取向。
（一）把握与理解实例，推进与学习共同体共成长的育人价值
学习共同体是指教育者与受教育者都能达到一种相对稳定的平衡状态，彼此都能在教育过程中得到相应的激励回报与精神鼓舞，系统内各要素之间能形成良性的共生融合态势，推动其整体性发展［13］。实例是课程内容的具体体现，于教育者而言，理应高度重视实例，深度挖掘实例，引导受教育者感悟实例的意义与价值；
于受教育者而言，须在教师的导引下学习与研究，在学习过程中体会实例的意蕴，并在特定的教育环境下，以实例为载体组建学习共同体，从不同的视角探讨实例所蕴藏的数学素养。
（二）对比与研究实例，领悟经典实例的意蕴与育人价值
通过对比可知，课标在变化过程中保留与增加了部分实例，所以教师应领悟经典实例的稳定性。例如，对于“掌握平行线的判定定理”这一课程内容，2022版课标继续使用前一版课标在此处所使用的实例，并突出强调其育人价值，力争让学生感悟反证法的逻辑和论证流程，引导学生认识反证法的重要性。其次要领悟经典实例的当下性，2022版课标的实例中加入教学过程与信息技术的融合，旨在通过实例导引教师改变教学形式单一的现状，鼓励数学教师充分发挥信息技术的作用来展现数学知识的可视性，如实例82旨在让学生在问题情境、信息技术、数学探究中发展核心素养，让实例在智能技术支持下充分地展现它的育人价值［14］。
（三）分析与应用实例，促进与教学内容相融合的育人价值
为了充分发挥实例的教育教学价值，数学教师要力求将实例与所对应的教学内容充分融合，用实例诠释学习内容，突出学习方法，使实例的引领示范作用在教学过程中真正发挥出来。如表3的对比证明实例与教学内容有极强的融合度，教师既可以将实例运用在不同类型的课堂上，也可以呈现在一节课的不同环节中。简言之，教师要认真剖析实例与课程内容的适配度，精心备课，以问题与目标为导向，敢于创新，为学生创造魅力与效率兼具的课堂。
（四）评判与研析实例，增强考试与评价的育人价值
考试评价的目的是全面了解和刻画学生在完成课程阶段性学习后的学业成就表现，而课标中呈现的实例正是以问题的形式展示，所以实例也具有检测的示范功能，而且是与课程内容高度匹配的。因此，教師需要对课标中展现的实例进行评判与研析，从核心素养的角度进行深度挖掘，诸如挖掘实例所承载的素养立意与育人导向，挖掘实例所承载的情境类型与认知水平，挖掘实例所设置的问题类型与考查范围等，借助实例的示范，公平、客观、准确地评价学生的数学学习。在充分分析学情的前提下，教师可以根据实例抽象出不同的评价维度，与课标相关的学业质量标准、课标内容中的学业要求以及课程实施中的评价建议紧密结合，为学生建构一个生动、多元、精确的评价育人体系。
（张定强 郭久星，西北师范大学教师教育学院，兰州 730070）
参考文献：
［1］［5］［8］［9］［11］［12］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022：74-86，194-205.
［2］［7］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012：31-39，107-113.
［3］［6］［10］ 中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［M］.北京：北京师范大学出版社，2001：39-47.
［4］ 吴立宝，王富英，秦华.数学教科书例题功能的分析［J］.数学通报，2013（3）：18-20.
［13］ 高维峰，李春华.思想政治教育共同体的构建基础与价值导向［J］.教育理论与实践，2021（1）：51-52.
［14］ 钟绍春，钟卓，范佳荣，等.智能技术支持新型课堂教学模式构建［J］.中国电化教育，2022（2）：21-29.
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