廖 梦，王兴玉，王连文,施 欣
(湖北民族大学 数学与统计学院，湖北 恩施 445000)
结核病是因感染结核分枝杆菌而引起的一种慢性传染病，主要由患者咳嗽、咳痰等方式向空气中释放细菌而广泛传播.在新型冠状病毒肺炎(COVID-19)大流行之前，结核病是单一传染病导致死亡的主要原因，排在人类免疫缺陷病毒(HIV) /艾滋病(AIDS)之前[1].2019年，约有1 000万人患上结核病，并有140万人死亡[1].更糟糕的是，到2020年，全世界约有25%的人口是潜伏性结核病感染者(latent tuberculosis infection，LTBI)[1].
个体感染结核杆菌后会经过几个月、几年甚至几十年的潜伏期，长短因人而异.短期潜伏性结核病感染者称为快LTBI，长期潜伏性结核病感染者称为慢LTBI，前者发展成活动性结核病的风险(约95%)远高于后者(约5%)[2].这对隐藏在人群中的数量庞大的潜伏性结核病感染者的及时发现和检测工作带来巨大挑战，也是结核病难以快速消除的一个重要原因.庆幸的是，结核病是可以预防和治愈的[1,3].事实上，在过去的一个世纪里，卡介苗(Bacille Calmette-Guérin，BCG)已被广泛接种[1,4]，全世界绝大多数国家建议新生儿出生后就立即接种该疫苗，对于未接种的婴幼儿和学龄儿童予以补种，可用于预防婴儿和10岁以下儿童的严重结核病，如结核性脑膜炎和粟粒性结核病.然而，卡介苗对人群不能提供完全有效地保护，而且疫苗效率不完美，平均为80%[5].治疗虽然是控制结核病流行的重要措施之一，但是对大多数结核病患者而言治疗效果往往是不完全的，即治疗成功后患者不再具有传染性，但体内仍然携带结核分枝杆菌[6].考虑到治疗环境等因素的影响，处于治疗阶段的患者可能具有传染性[7-9].此外未被治疗的患者有一定的自愈能力，自愈后可能再次转化为潜伏者[9-10].基于文献[10]，本文建立了一类具有快慢潜伏感染、不完全接种、不完全治疗和自愈的SVLEIT结核病模型：
(1)
图1 SVLEIT模型流程Fig.1 The flow diagram for SVLEIT model
其中S、V、L、E、I和T分别表示易感者、接种者、慢LTBI、快LTBI、感染者和治疗者.模型(1)的流程和参数的具体含义如图1和表1所示，模型中的所有参数都是非负的.
表1 参数的生物意义Tab.1 Biological description of parameters
许多学者通过构造Lyapunov函数的方法来解决模型平衡点的全局稳定性问题，其中李健全等[11-12]应用代数方法来确定Volterra型Lyapunov函数的组合系数，高大鹏等[13]运用该代数方法解决了文献[7]所建立的SVLIT结核病模型地方病平衡点的全局稳定性.本文的贡献在于如下两方面:① 由于模型(1)的维数高，运用传统的Routh-Hurwitz判据难以有效研究其平衡点局部稳定性，因此将充分利用控制再生数和平衡点方程，通过反证法来解决其局部稳定性；
② 由于模型(1)具有多个非线性项，并考虑了不完全接种和不完全治疗，应用代数方法[11-12]来确定Volterra型Lyapunov函数的组合系数计算过于繁琐，将呈现一个简单的方法来确定这些组合系数.
对于模型(1)，集合
是模型(1)的正向不变集，其中S0=q1μΛ/(μ+ν),V0=q2Λ+q1νΛ/(μ+ν).易知模型(1)总存在一个无病平衡点ρ0=(S0,V0,0,0,0,0).记α1=μ+ν,α2=μ,α3=μ+η,α4=μ+θ,α5=μ+d+γ,α6=μ+δ,x0=λ(p1S0+V0).利用下一代矩阵法[14]计算基本再生数为
(2)
为方便，记x*=λ(I*+κT*)，直接计算可知地方病平衡点ρ*(S*,V*,E*,L*,I*,T*)满足下面等式：
定理1当且仅当Rc>1，模型存在唯一的地方病平衡点ρ*(S*,V*,E*,L*,I*,T*).
定理2由定理1，如下等式明显成立,
(3)
定理3如果Rc<1，ρ0是局部渐近稳定的；
而Rc>1，ρ0则变得不稳定.
证明模型(1)在ρ0处的特征方程为
(a+α1)(a+α2)(a+α3)(a+α4)(a+α5)(a+α6)=
(a+α1)(a+α2)(a+α6+κk3γ)[x0θη+p2S0λθ(a+α3)]+(a+α1)(a+α2)×
[k1γθη(a+α6)+k2γθ(a+α3)(a+α6)+l1k3γδθη+l2k3γδθ(a+α3)].
(4)
显然，a1=-α1<0,a2=-α2<0，其他特征值满足等式
(a+α3)(a+α4)(a+α5)(a+α6)=[(a+α6+κk3γ)x0θη+p2S0λθ(a+α3)]+
k1γθη(a+α6)+k2γθ(a+α3)(a+α6)+l1k3γδθη+l2k3γδθ(a+α3).
(5)
(6)
定理4如果唯一的地方病平衡点ρ*存在，则它是局部渐近稳定的.
证明ρ*处的特征方程为
A1A2A3A4A5A6+νλx*S*θη(A6+κk3γ)=
θλS*(a+α1)A2(p1η+p2A3)(A6+κk3γ)+λθηV*A1(a+μ)(A6+κk3γ)+
k1γθηA1A2A6+k2γθA1A2A3A6+l1k3γδθηA1A2+l2k3γδθA1A2A3,
(7)
其中A1=a+x*+α1,A2=a+x*+α1,Ai=a+αi,i=3,4,5,6.
定理5(i) 如果Rc<1，ρ0在Ω内是全局渐近稳定的；
(ii) 当Rc>1，ρ*在Ω*={φ∈Ω|I>0}内是全局渐近稳定的.
证明：(i) 首先证明ρ*的全局稳定性.为此选择一个合适的Lyapunov函数
其中Volterra型的函数ψ(u)=u-1-lnu对于u>0，满足ψ(u)≥0，当且仅当u=1时ψ(u)=0.常数ci>0,i=1,2,…,6待定.注意到平衡点满足下面等式：
q2μΛ=-νS*+
c2λ(I+κT)V*-c2λ(I+κT)V+
c3p1λ(I+κT)S+c3
c3
c3
合并上式中λ(I+κT)S，λ(I+κT)V和和的同类项，可得
c2λ(I+κT)V-
c3
其中,
o1=-c3p1λ(I*+κT*)S*-c3λ(I*+κT*)V*-c3k1γI*-c3l1δT*+c4ηL*,
o2=-c4p2λ(I*+κT*)S*-c4k2γI*-c4l2δT*-c4ηL*+c5θE*，
o3=c1λS*I*+c2λV*I*+c3k1γI*+c4k2γI*-c5θE*+c6k3γI*，
o4=c1λκS*T*+c2λκV*T*+c3l1δT*+c4l2δT*-c6k3γI*.
通过比较系数发现:
(8)
通过(i)中类似论证，ρ0在Ω内是全局渐近稳定的.
本节通过数值模拟来检验前面理论结果.取定λ=2.411×10-9[16],Λ=1.240 1×109[17],κ=0.024 2[17],μ=1/76.34[18],q1=0.05[19],q2=1-q1,ν=0.508 3[17],=0.35[20],p1=0.90[10],p2=1-p1,d=0.3[21],l2=0.2[18],η=0.5[17],θ=0.016 9[17],γ=0.623 5[17].结合生物学意义，可以选取k1=0.3,δ=0.6,k2=0.13,k3=0.57,δ=0.6,l1=0.8,l1=1-l2,使得控制再生数Rc=0.979 1<1.0和ρ*的全局渐近稳定性,如图2所示.由图2(a)可知,随着t→+∞,I→0,T→0,因此无病平衡点ρ0是全局渐近稳定的.如果选取λ=3.134 3×10-9而保持其余参数不变,使得Rc=1.272 9>1.由图2(b)可知，随着t→+∞,I→I*=3.21×106,T→T*=1.86×106,因此地方病平衡点ρ*全局渐近稳定.
(a) Rc=0.979 1<1时ρ0全局渐近稳定 (b) Rc=1.272 9>1时ρ*的全局渐近稳定图2 ρ0和ρ*的全局渐近稳定性Fig.2 Globally asymptotically stability of ρ0 and ρ*
接下来，通过对新生儿的接种比例q2、疾病传染率λ、活动性结核病例治疗比例k3进行10%的改变来进行参数敏感性分析，结果如图3所示.由图3可知：疾病传染率λ是最敏感参数(见图3(b))，活动性结核病例治疗比例k3为第2敏感参数(见图3(c))，新生儿的接种比例p2为第3敏感参数(见图3(a))，但鉴于接种是控制成本最小的措施，上述3种措施均能有效减小活动性结核病例数量，应当同时实施.
(a) 参数q2的敏感性分析 (b) 参数λ的敏感性分析 (c) 参数k3的敏感性分析图3 对参数q2、λ、k3进行敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis for the paramenters q2,λ,k3are conducted
综合文献[7]和[10]研究的结核病传播模型反映的快慢潜伏感染、不完全接种、不完全治疗和自愈等结核病传播机理，进一步建立一类具有多个非线性项和高维的SVLEIT结核病模型,通过反证法得到各平衡点的局部稳定性，并运用一个简单的方法确定了Volterra型Lyapunov函数的组合系数，分析发现该模型呈现出全局阈值动力学，即该模型的基本再生数决定了结核病灭绝或持久.通常，传统的代数方法所确定的Volterra型Lyapunov函数的组合系数不总是唯一的，提出的新方法能唯一确定Lyapunov函数的组合系数，有效简化了分析计算，在对高维的非线性传染病模型的全局稳定性分析中显得更为突出.此外，数值模拟探究表明参数敏感性揭示减少疾病传染率λ、提高活动性结核病例治疗比例k3和新生儿的接种比例q2均能有效减少活动性结核病例，这些措施可以为结核病的防治提供理论参考.
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