言小明,王 平,余玉刚
(中国科学技术大学 管理学院,安徽 合肥 230026)
根据ECR Europe[1],缺货是当消费者没有找到所需商品的形式、口味或大小,或没有在可销售的条件下找到所需商品,又或该商品没有被搁置在预期位置的情况。近年来,研究人员和咨询企业对零售业的缺货情况进行了广泛的分析,虽然缺货问题并不是一个新话题,但是缺货仍然是许多零售商的关键问题。缺货的发生对零售商造成了利润和销售的损失。根据Che 等[2]的研究,杂货类产品的平均缺货率为7.9%,造成了零售商4%的销售损失。Jing 和Lewis[3]发现如果消除所有的缺货情况可以将收益提高12.5%,并且将长期客户权益提高56.2%。此外,缺货的发生也对消费者的行为造成了影响。Sanchez-Ruiz 等[4]指出,当消费者面临缺货情况时可能采取的措施是购买替代品、延迟购买决策或者不购买并且直接离开商店。而且缺货可能会降低消费者的满意度,影响消费者对企业产品的忠诚度,不仅破坏了产品形象,甚至给企业带来消费者的永久流失。现在,购物的多种渠道以及快速的信息获取使得消费者更加不能接受缺货的情况。但是对于企业来说,在面对不确定市场时,准确地预测需求和提供恰到好处的库存是存在难度的并且需要大量的成本。所以,在决策时考虑缺货情况以及消费者对缺货的厌恶程度,能够使零售商更合理地制定产品决策。因此,在考虑缺货的影响下,分析竞争市场中企业满足率和价格决策的均衡情况,是值得研究的重要问题。
产品满足率,即产品可获得性,通常被认为是需求中可以被当前库存满足的部分。Dana 和Petruzzi[5]在构建需求模型时假设,消费者购买企业产品获得的效用不仅取决于产品的价格,而且与预期的产品可获得性有关。Dana[6]通过视频租赁市场的案例讨论价格与产品可获得性之间的关系。作者在需求不确定的假设下提出了一个在价格和产品可获得性维度进行竞争的模型,并且表明,在单周期Cournot 模型中,企业使用更高的价格表明更高的产品可获得性,在单周期Bertrand 模型中,较高的价格会促使企业持有更高的库存。同样地,Lei 等[7]认为零售商以较高的价格表明产品的可获得性。Craig 等[8]从实证角度上研究了供应商的服务水平对零售商需求的影响,并且通过对Hugo Boss 的研究发现满足率每增加1%,零售商需求增加11%。以上文献大多研究了价格或库存决策对产品可获得性的影响,但鲜有将产品满足率作为决策变量加以讨论。
此外,本文的研究针对竞争市场中多个企业同时进行决策的问题,其中每个企业的产品有区别但可替代。早期对报童模型的研究主要集中于库存决策上,该研究可以追溯到Parlar[9],他研究了销售可替代产品的两个企业的库存博弈问题,并且证明了纳什均衡的存在性与唯一性。这一结果被Wang 和Parlar[10]以及Nestessine 和Rudi[11]扩展到三个企业和n个企业的情形。后续的研究学者在报童竞争问题中加入了价格因素,研究价格决策对市场均衡的影响。如Chen等[12]研究了价格和库存竞争市场,并证明了市场均衡的存在性与唯一性,表明竞争导致了更低的价格和更高的订购量。Zhao 和Arkins[13]扩展了Nesteessine 和Rudi[11]的模型,将n个企业的库存竞争理论扩展到企业在价格和库存维度同时竞争的情况。但以上的研究未考虑缺货情况以及消费者对于缺货的反应,忽视了消费者与企业之间的关联,本文的研究将消费者对缺货的反应考虑到报童模型中,更加符合实际,同时也能够对相关研究领域进行补充。
最后,消费者的选择行为是本文研究的重点,消费者需要在不同的企业产品以及外部选择间进行决策,并且消费者选择的结果决定了每个企业的市场份额。因此,本文使用多项式Logit 模型(MNL 模型)描述消费者的选择行为。MNL模型的提出可以追溯至Luce[14]。在基于MNL 模型的定价问题中,消费者购买特定产品的概率取决于所有产品的价格。Li 和Huh[15]研究了多个差异化产品的定价问题。Gallego 和Wang[16]研究了销售多种可替代产品的企业的价格优化问题,其中消费者的购买行为遵循嵌套Logit 模型,即消费者首先在所有产品中选择一系列产品,然后在选定的产品中做出购买产品的决策。此外,Li 等[17]使用离散混合多项式Logit 模型(即MMNL 模型)研究产品线的价格优化问题。不同于上述研究,本文在使用MNL 模型描述消费者的选择行为时,将消费者对缺货的反应加入到模型中,使模型更加切合实际。
综上所述,近年来现有文献针对产品满足率和报童竞争问题进行了较为广泛的研究,但这些研究鲜有将消费者对缺货情况的厌恶程度考虑到竞争企业的决策中。在许多情况下,假设消费者行为和企业决策之间的独立性是不合理的。在实践中,消费者确实对不良服务(如缺货)做出了实质性和负面的反应,这可能导致他们在随后的购买中更换零售商(Sanchez-Ruiz 等[4]),并且可能对未来的需求产生显著的不利影响(Anderson 等[18]),另一方面,满意的客户可能会继续从同一家企业购买商品(Anderson 和Sullivan[19])。在本文的假设中,市场中存在n个销售有区别产品的竞争企业,因此,企业在制定决策时,不仅需要考虑其他企业的决策,也要考虑缺货情况对消费者的影响。在此前提下,本文使用MNL模型刻画消费者的选择行为和市场需求情况,对竞争市场的均衡情况进行分析,以及讨论不同参数对均衡解和企业利润的影响。
本文考虑一个由销售有区别产品的n个企业构成的竞争市场。假设消费者是同质的,且对企业i产品的估值为vi。令ci表示企业i购买单位产品的成本,yi和pi分别表示企业i对其产品的订购量和单位售价,故企业i的订购成本可表示为ciyi。假设消费者市场是随机的,市场容量为ε,ε的概率密度函数和概率分布函数分别为f(x)和F(x),且F(x)连续可微。由于需求是随机的,但是订购量是有限的,理性的消费者会在做出购买决策前考虑企业的满足率,令ri表示企业i对其产品的满足率。基于以上的假设,消费者购买企业i的产品所获得的效用可以表示如下:
由于vi-pi表示消费者购买企业i的产品所获得的净效用,ri表示消费者被满足的概率。因此,ri(vi-pi)表示消费者购买企业i的产品所能获得的期望净效用。θilog(ri)表示消费者由于缺货厌恶而引起的效用减少,θi是一个非负常数,因为满足率ri∈[0,1],所以log(ri)≤0。故θi越大,缺货带来的效用减少越大,因此,θi可以理解为消费者对企业i产品缺货现象的厌恶程度。这里使用的对数形式已被其他学者用过,如Gaur 和Park[20]。用对数函数刻画消费者由于可能缺货而引起的效用减少,其原因如下:1)当ri趋于0 时,θilog(ri)趋于负无穷,说明当企业的服务水平趋于0 时,消费者购买产品的效用会趋于负无穷,这种情况下消费者不会选择购买产品。2)当ri=1 时,消费者购买该产品的效用完全由产品价格以及消费者对该产品的估值决定。
消费者外部选择的效用为U0=ξ0。为了描述具有多个替代产品选择的消费者的选择行为,本文引入了MNL 模型,即本文假设{ξi},i=0,1,…,n,是独立同分布的Gumbel 随机变量,即Pr(ξi≤x)=exp(-exp(-(x/β+η))),其中η≈0.5772 为欧拉常数。并且,ξi的均值E[ξi]=0,标准差为βπ/。不失一般性,令β=1(McFadden[21],Wang[22])。消费者只有在购买企业i产品获得的效用高于购买其他企业产品获得的效用时才会选择购买企业i的产品。因此,消费者选择企业i产品的概率可以表示为:
在下面的分析中,qi也被称作企业i的市场份额。因此,企业i产品的市场需求可以表示为qiε。
根据Deneckere 和Peck[23],在消费者进入市场条件下总需求的概率密度函数为g(ε)=εf(ε)/μ,其中,μ=E[ε],表示需求容量的均值。因此在消费者进入市场并购买企业i产品的条件下,企业i对其产品的服务水平可以定义为:
其中G(z)=(1/μ)E[min{z,ε}],且G(z)对变量z是递增的凹函数。特别地,E[min{yi,qiε}]是企业i期望销量,μqi是企业i期望需求。则yi=qiG-1(ri),其中G-1(·)是G(·)的反函数,并且是递增的凸函数。因此企业i的期望利润函数可以表示为:
将式(1),式(2)代入期望利润函数(3)中,化简得:
类似Dana 和Petruzzi[5],本文在后续的模型中分别考虑了价格外生和价格内生两种情形,区别在于企业是否能够决策产品的价格水平。为了比较,本节将竞争情况分为满足率竞争和市场份额竞争两种竞争情形,分别对竞争市场的均衡情况和企业决策进行分析。
2.1 满足率竞争
定理1对于价格外生情况下满足率竞争市场的博弈,存在唯一的纳什均衡,且该纳什均衡满足以下条件:
其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri),表示hi(ri)的导数。
证明:由式(4)可知,企业i的期望利润函数为:
其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri)。
令xi=ri(vi-pi)+θilog(ri),则式(5)可以转换为:
因此该博弈是对数超模博弈,根据Cachon 和Netessine[24],在超模博弈中,至少存在一个纳什均衡,且该均衡满足:
这里,考虑利润函数的对数转换是因为对数转换为严格单调转换,而如果利润函数在经过严格单调转换后在某一点取得极值,则原函数在该点仍然取得极值。
在证明均衡的唯一性前,定义如下矩阵:
根据Cachon 和Netessine[24],如果矩阵H1满足“严格对角优势”,即每一行对角线元素绝对值大于该行非对角线元素的绝对值之和,也就是,则该博弈具有唯一的纳什均衡。
计算式(7)对xi的导数,可得:
根据式(5)和式(6),可得:
因此,纳什均衡满足一阶条件式
且式(9)的解唯一,则该博弈存在唯一的纳什均衡。
该纳什均衡能够通过二分法进行求解。求解式(9)相当于求解以下等式:
简单来说,纳什均衡是n个一阶条件的解,因此纳什均衡可能是不存在的。不存在均衡情况实际上是一个概念性问题,因为在这种情况下,博弈的结果是不确定的。在理论上证明均衡的存在性有很多方法,如布劳威尔不动点定理、证明收益函数的凹性,以及本文在定理1 中使用的证明该博弈问题为超模博弈等。从定性分析角度上来说,为了研究和比较市场结果,证明纳什均衡的存在性和唯一性是非常有用的,它能够从理论上说明市场的均衡状态,市场中的每个博弈者都确信,在给定竞争对手的情况下,每个博弈者都选择了最好的策略。正如定理1 中纳什均衡满足的一阶条件所示,在竞争市场中,每个企业在自身成本等参数确定的前提下,能够找到使自身收益最大化的策略。并且,在后续第四章的数值分析中,本文也分析了各参数对企业决策和利润的影响,对于企业如何获得更多的利润提供了思路和方法。
2.2 市场份额竞争
类似于Li 和Huh[15],我们接下来也考虑市场份额竞争,即每个企业决策自身的市场份额。在该节中,上标q表示企业进行市场份额竞争时的相关决策。
定理2对于价格外生情况下市场份额竞争市场的博弈,存在唯一的纳什均衡,且该纳什均衡满足以下条件:
其中,φi(ri)=ri(vi-pi)+θilog(ri),表示φi(ri)的反函数。
证明:回顾式(1),企业i的市场份额为:
2.3 两种竞争市场的比较
在价格外生情况下,两种竞争市场的最优满足率的关系有如下定理。
定理3价格外生情况下,对任意的企业i,两种竞争情况最优满足率的关系满足。
证明:由定理1 和定理2 可知,两种竞争情况的均衡取决于以下等式:
将式(12)代入式(11)中并通过化简可得:
对于两种竞争情况的利润比较,由于从理论证明两种竞争情况的利润关系较为复杂,因此我们使用数值分析比较了两种竞争情况的利润关系,如图1 所示。
图1 满足率竞争与市场份额竞争的利润比较Figure 1 Comparison of profit in fill rate competition and market share competition
在该数值实验中,假设产品的需求在[0,10]上服从截断的正态分布(这一假设被很多学者采用,如Chen 等[25],Chen等[26],Yang 和Zhang[27]),参数的基准取值为:截断正态分布的均值为5,方差为1;市场中存在2 个竞争企业,且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi=1.5。图1 表明,在不同参数变化情况下,企业在满足率竞争市场获得的利润均小于在市场份额竞争情况下获得的利润,其中,单位成本参数变化下,企业在两种竞争情形下获得的利润很接近,但从具体的数值表现上看,企业在满足率竞争市场获得的利润小于在市场份额竞争情况下获得的利润。这表明,满足率竞争市场的竞争强度更大,在满足率竞争市场中,企业需要提供更高的产品满足率,即企业需要设置更高的库存水平,库存浪费的影响超过了市场份额增加的影响,从而使得企业的利润更低。
在价格外生情况下,由于市场中的每个参与者都是价格的接受者,价格只是给定的参数,每个企业通过制定满足率决策来使自身收益达到最大。在下一节中,本文将针对价格内生情况进行详细分析。
本节讨论了价格内生的情况,即竞争市场中的每个企业需要为各自的产品制定满足率决策和价格决策。本节将竞争情况分为价格满足率同时竞争与市场份额满足率同时竞争两种情形,分别对竞争市场的均衡情况和企业决策进行分析。
3.1 价格满足率同时竞争
定理4对于价格内生情况,在价格满足率同时竞争市场的博弈中,存在唯一的纳什均衡,且该纳什均衡满足以下条件:
证明:令mi=ri(vi-pi)+θilog(ri),则企业i的期望利润函数式(4)可以转变为:
将式(14)对ri求偏导得到:
将式(15)对mi求偏导得:
在证明均衡的唯一性前,定义如下矩阵:
由一阶条件化简可知:
又因为mi=ri(vi-pi)+θilog(ri),因此对于价格内生情况下,价格满足率同时竞争市场存在唯一的纳什均衡。
由定理4 可知,每个企业的最优满足率只依赖于自身的参数、消费者对该企业产品缺货现象的厌恶程度以及市场中总的潜在需求量,与其他企业的决策无关。从定理4 的证明中可得,企业i的最优满足率决策为。若将μθilog(ri)看作企业i由缺货带来的利润损失(若满足率为1,该损失为0)以及将vi看作产品i的售价(企业i将售价设置等于产品的价值),那么实际上是把企业i看作报童模型时的最优订货决策所产生的满足率。因此,每个企业的最优满足率决策可以由解各自的报童模型得到。因为mi=ri(vi-pi)+θilog(ri)表示产品i的平均效用,所以从定理4 可得,企业可以将价格竞争等价地转化为平均效用竞争,通过决策自身产品的平均效用来达到均衡。
在定理4 的证明中,两变量的利润函数可以转化为π(x,y)=π1(y)[π2(y)+π3(x)]的形式,其中π1(y)>0,即利润函数式(14)的形式。在这种形式下,可以先将π1(y)和π2(y)视作常数得到最优的x∗。因为x∗与y是独立的,即可以将π3(x∗)视作常数,在给定x∗的基础上得到最优的y∗,这种方法使得联合决策问题可以分为两阶段来分析,降低了模型求解的难度。并且,本文没有对F(x)有除了连续可微假设之外的其他限制。在此情况下,企业不需要对参数设置更多的假设条件,因此寻找最优解的过程可能是更加稳健的。
3.2 市场份额满足率同时竞争
在本节的讨论中,类似于Li 和Huh[15],我们在价格内生条件下也考虑了市场份额满足率同时竞争的情况,即每个企业决策自身的满足率和市场份额。
定理5对于价格内生情况,在企业进行市场份额满足率同时竞争的博弈中,存在唯一的纳什均衡,且该纳什均衡满足以下条件:
证明:类似式(14),企业i的期望利润函数可以写为:
在进行市场份额满足率同时竞争的博弈中,企业的最优满足率决策与价格满足率同时竞争博弈中的最优满足率决策相同,都可以通过解报童模型得到。因此,在价格内生情形下,企业的最优满足率决策与竞争类型无关。从而多决策竞争博弈问题可以退化为单决策竞争博弈问题,大大简化了博弈均衡解的分析。类似定理2,定理5 也是通过证明n个一阶条件具有唯一解来说明纳什均衡的唯一性,该证明均衡唯一性的方法在能够推导出函数单调性时较为常用,类似文献有Wang[22]等。定理4 与定理5 表明,通过变量替换能够将联合决策问题转化为两阶段的优化问题,不仅能够得到竞争市场的均衡结果,也为相关复杂联合决策问题提供了解决思路。
3.3 两种竞争情况的比较
在价格内生情况下,两种竞争市场的最优满足率和价格决策的关系有如下定理。
定理6价格内生情况下,对任意的企业i,在两种竞争情况下具有相同的最优满足率决策,最优价格决策满足。
而在价格满足率同时竞争情况中,均衡解满足条件:
同样,由于从理论证明两种竞争情况的利润关系较为复杂,因此我们使用数值分析比较了价格内生条件下两种竞争情况的利润关系,如图2 所示。
与第二章类似,在数值实验中假设产品需求在[0,10]上服从截断的正态分布,参数的基准取值为:截断正态分布的均值为5,方差为1;市场中存在2 个竞争企业,且ci=1,vi=3,θi=0.2。图2 表明,在不同参数变化的情况下,企业在价格满足率同时竞争市场获得的利润小于在市场份额满足率同时竞争情况下获得的利润。这表明,价格满足率同时竞争市场的竞争强度更大,由于均衡情况下价格满足率同时竞争市场导致了企业需要制定更低的价格,价格降低的影响超过了市场份额增加的影响,从而使得企业的利润更低。
为了更加具体地分析不同参数变化对均衡解和企业利润的影响,本节对模型进行算例分析。与前述章节中的数值实验假设一致,本节假设产品的需求在[0,10]上服从截断的正态分布,参数的基准取值为:截断正态分布的均值为5,方差为1;市场中存在2 个竞争企业,且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi(价格外生情况)=1.5,则数值实验结果如下:
(1)市场中企业数目的影响
由图3 可知,对于价格内生情况,竞争的企业数量越多,企业的价格水平越低,获得的利润越少。同理,对于价格外生情况,竞争使得企业的满足率提高,利润降低。但是价格内生情况下企业的满足率决策与市场中企业的数目无关,这一点从定理4 也可以说明,价格内生情况下企业的最优满足率只与市场需求分布、消费者对缺货厌恶程度以及企业自身的产品参数有关,与企业数量以及其他企业的决策无关。
图3 企业数目的影响Figure 3 Impact of the number of companies
(2)消费者对缺货厌恶程度θi的影响
由图4 可知,对于价格内生情况,随着消费者对缺货厌恶程度的增加,企业产品的最优价格升高,满足率提高,利润降低。同理,对于价格外生情况,消费者厌恶缺货的程度越高,企业最优满足率越高,利润越低。企业可以通过提高自身产品的形象使消费者能够接受缺货的情况,降低消费者对缺货的厌恶程度,从而获得更大的利润。
图4 消费者对缺货厌恶程度的影响Figure 4 Impact of consumers′ aversion of stockouts
(3)单位产品成本ci的影响
由图5 可知,对于价格内生情况,随着单位产品成本的升高,企业最优价格上升,产品满足率和最大利润下降。同理对于价格外生情况,单位产品成本对产品满足率和最大利润也存在负向的影响。并且,从算例中可以发现,单位产品成本的变化对价格外生情况下的满足率决策影响更大。因此,不论企业能否制定价格决策,都可以通过降低成本来获得更大的利润。
图5 单位产品成本的影响Figure 5 Impact of product unit cost
(4)消费者估值vi的影响
对于价格内生情况,随着消费者对产品估值的增加,企业最优价格、产品满足率以及最大利润均随之上升。同理对于价格外生情况,消费者对产品估值的变化对产品满足率和最大利润存在正向影响。并且,图6 表明,消费者对产品估值的变化对价格外生情况下企业利润的影响较小,即当企业能够自行制定价格决策时,企业能够根据消费者估值的变化及时调整产品价格,从而获得更大的利润。
图6 消费者估值的影响Figure 6 Impact of consumer′s valuation
本文以缺货为背景,将消费者对缺货情况的反应考虑到企业的满足率和价格决策中,利用随机效应理论建立MNL模型,分别在价格外生与价格内生条件下分析竞争市场的均衡情况。在价格外生情况下,分别证明了满足率竞争和市场份额竞争两种情形下纳什均衡的存在性和唯一性,并给出了确定纳什均衡的充分必要条件。通过对两种情形下纳什均衡的比较分析,得到满足率竞争情形下企业提供更高的产品满足率,企业产品的市场份额增加,但企业获得的利润更低;在价格内生情况下,考虑了价格满足率同时竞争与市场份额满足率同时竞争两种情形,并分别证明了每种情形下纳什均衡的存在性和唯一性。通过对纳什均衡的比较分析,发现两种竞争情形下的产品满足率相同,但在价格满足率同时竞争情形下企业会制定更低的价格,企业产品的市场份额增加,获得的利润更低。最后,本文通过数值仿真讨论市场中企业数目、消费者对缺货的厌恶程度、单位产品成本、消费者对产品估值等参数的变化对企业均衡解以及企业获得利润的影响。
算例结果表明竞争市场中的企业数量越多,企业的最优价格越低,利润越低,但是当企业能够决策自身产品价格时,企业的产品满足率决策与市场中的企业数量无关。消费者对缺货的厌恶程度过高会导致企业的满足率升高并且无法得到更大的利润。在此情况下,企业可以通过提高自身产品的形象来降低消费者对缺货的厌恶程度,从而获得更大的收益。此外,降低单位产品成本会提高企业的满足率和最大利润。最后,消费者对产品的估值越高,企业满足率越高,获得的利润越高。本文模型是在竞争市场的前提下进行考虑的,对于垄断厂商,在考虑消费者对缺货的厌恶程度这一参数的影响下,如何决策产品集,最优满足率等是需要进一步分析的问题。
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